Dưới đây là các thông tin và kiến thức về bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách hot nhất hiện nay
Cách Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách – bài tập có đáp án
Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng
– Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
– Mặt phẳng $left( P right)$ chứa đường thẳng d nên $left( P right)$ đi qua $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)in d$ và vuông góc với vectơ chỉ phương của d
Khi đó ta có $left{ begin{array} {} left( P right):aleft( x-{{x}_{0}} right)+bleft( y-{{y}_{0}} right)+cleft( z-{{z}_{0}} right) \ {} overrightarrow{{{n}_{Q}}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow a=fleft( b;c right) \ end{array} right.$
– Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c. Thay $a=fleft( b;c right)$ vào phương trình này, giải ra được $b=m.c$ hoặc $b=n.c$
Chọn cho $c=1$, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b$Rightarrow $phương trình mặt phẳng $left( P right)$cần lập.
Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
$A{{x}^{2}}+Bxy+C{{y}^{2}}=0Leftrightarrow A{{left( frac{x}{y} right)}^{2}}+Bleft( frac{x}{y} right)+C=0Rightarrow frac{x}{y}=tLeftrightarrow x=t.y$
Bài tập viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng $left( alpha right):x+2y-z+5=0$; $left( beta right):4x-2y+3=0$.
Lập $left( P right)$vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm $Aleft( 3;1;1 right)$ đến $left( P right)$ bằng $frac{8}{sqrt{30}}$
Lời giải chi tiết
Ta có: $left{ begin{array} {} left( P right)bot left( alpha right) \ {} left( P right)bot left( beta right) \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}bot overrightarrow{{{n}_{left( alpha right)}}} \ {} overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}bot overrightarrow{{{n}_{left( beta right)}}} \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{left( alpha right)}}};overrightarrow{{{n}_{left( beta right)}}} right]$, trong đó $overrightarrow{{{n}_{left( alpha right)}}}=left( 1;2;-1 right)$; $overrightarrow{{{n}_{left( beta right)}}}=left( 4;-2;0 right)$
$Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( -2;-4;-10 right)=-2left( 1;2;5 right)$$Rightarrow $Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ có dạng: $x+2y+5z+D=0$
Lại có: $dleft( A;left( P right) right)=frac{8}{sqrt{30}}Leftrightarrow frac{left| 3+2+5+D right|}{sqrt{1+4+25}}=frac{8}{sqrt{30}}Leftrightarrow left| D+10 right|=8Leftrightarrow left[ begin{array} {} D=-2 \ {} D=-18 \ end{array} right.$
Do đó $left( P right):x+2y+5z-2=0$ hoặc $left( P right):x+2y+5z-18=0$
Bài tập 2: Lập phương trình $left( P right)$ đi qua $Aleft( 1;-1;0 right)$, $Bleft( 2;-1;-1 right)$ sao cho khoảng cách từ $Mleft( -2;1;3 right)$ đến $left( P right)$ bằng $frac{2}{3}$
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
Ta có: $overrightarrow{AB}left( 1;0;-1 right)$, do $left( P right)$ chứa AB nên $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}.overrightarrow{AB}=0Leftrightarrow a-c=0Leftrightarrow a=c$
Khi đó: $left( P right):aleft( x-1 right)+bleft( y+1 right)+az=0$
Ta có: $dleft( M;left( P right) right)=frac{left| -3a+2b+3a right|}{sqrt{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=frac{2}{3}Leftrightarrow frac{left| b right|}{sqrt{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=frac{1}{3}Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}Leftrightarrow 4{{b}^{2}}={{a}^{2}}Leftrightarrow a=pm 2b$
- Với $a=2b$ chọn $b=1Rightarrow a=2=cRightarrow left( P right):2x+y+2z-1=0$
- Với $a=-2b$ chọn $b=-1Rightarrow a=2=cRightarrow left( P right):2x+y+2z-3=0$
Bài tập 3: Lập phương trình $left( P right)$ chứa $d:frac{x+1}{1}=frac{y}{1}=frac{z+2}{-2}$ sao cho khoảng cách từ $Aleft( -3;1;1 right)$đến $left( P right)$ bằng $frac{2}{sqrt{3}}$
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
Mặt phẳng $left( P right)$ chứa $d$ nên $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow a+b-2c=0Rightarrow b=2c-a$
$left( P right)$ đi qua điểm $left( -1;0;2 right)Rightarrow left( P right):aleft( x+1 right)+by+cleft( z+2 right)=0$
$dleft( A;left( P right) right)=frac{left| -2a+b+3c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{left| -2a+2c-a+3c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{left( 2c-a right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{left| -3a+5c right|}{sqrt{2{{a}^{2}}-4ac+5{{c}^{2}}}}=frac{2}{sqrt{3}}$
$Leftrightarrow 4left( 2{{a}^{2}}-4ac+5{{c}^{2}} right)=3{{left( 3a-5c right)}^{2}}$
$Leftrightarrow 19{{a}^{2}}-74ac+55{{c}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=c \ {} 19a=55c \ end{array} right.$
- Với $a=c$ chọn $a=c=1Rightarrow b=1Rightarrow left( P right):x+y+z+3=0$
- Với $19a=55c$ chọn $a=55;c=19Rightarrow b=-17Rightarrow left( P right):55x-17y+19z+93=0$
Bài tập 4: Cho $Delta :frac{x-2}{1}=frac{y+1}{3}=frac{z}{-1}$; $left( P right):2x+y-z+3=0$
Lập $left( Q right)//Delta $; $left( Q right)bot left( P right)$ đồng thời khoảng cách từ $Aleft( 1;2;0 right)$ đến $left( P right)$ bằng $frac{7}{sqrt{30}}$
Lời giải chi tiết
Ta có: $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( 2;1;-1 right)$; $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left( 1;3;-1 right)$
Do $left( Q right)//Delta $ và $left( Q right)bot left( P right)$ $Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}};overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right]=left( 2;1;5 right)$
Phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ có dạng: $2x+y+5z+D=0$
Lại có: $dleft( A;left( P right) right)=frac{7}{sqrt{30}}Leftrightarrow frac{left| 4+D right|}{sqrt{4+1+25}}=frac{7}{sqrt{30}}Leftrightarrow left| D+4 right|=7Leftrightarrow left[ begin{array} {} D=3 \ {} D=-11 \ end{array} right.$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ là: $left( Q right):2x+y+5z+3=0$ hoặc $left( Q right):2x+y+5z-11=0$
Bài tập 5: Lập phương trình $left( P right)$ đi qua $Aleft( -1;2;1 right)$, vuông góc với mặt phẳng $left( xOy right)$ đồng thời khoảng cách từ điểm $Bleft( 1;1;-3 right)$ đến $left( P right)$ bằng $frac{3}{sqrt{5}}$
Lời giải chi tiết
Giả sự mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
Mặt phẳng $left( P right)$ vuông góc với mặt phẳng $left( xOy right):z=0$ nên $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}.overrightarrow{{{n}_{left( xOy right)}}}=0Leftrightarrow c=0$
$left( P right)$ đi qua điểm $Aleft( -1;2;1 right)$$Rightarrow left( P right):aleft( x+1 right)+bleft( y-2 right)=0$
$dleft( B;left( P right) right)=frac{left| 2a-b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=frac{3}{sqrt{5}}Leftrightarrow 5{{left( 2a-b right)}^{2}}=9left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)Leftrightarrow 11{{a}^{2}}-20a-4{{b}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=2b \ {} 11a=-2b \ end{array} right.$
- Với $a=2b$ chọn $b=1Rightarrow a=2Rightarrow left( P right):2x+y=0$
- Với $11a=-2b$ chọn $a=2Rightarrow b=-11Rightarrow left( P right):2x-11y+24=0$
Bài tập 6: Cho $d:left{ begin{array} {} x=2+t \ {} y=1-2t \ {} z=-t \ end{array} right.$ và các điểm $Aleft( 1;1;2 right)$, $Bleft( 3;1;-1 right)$
Lập $left( P right)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến $left( P right)$ bằng hai lần khoảng cách từ B tới $left( P right)$
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
Mặt phẳng $left( P right)$ chứa d nên $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow a-2b-c=0Rightarrow c=a-2b$
$left( P right)$ đi qua điểm $Mleft( 2;1;0 right)$$Rightarrow left( P right):aleft( x-2 right)+bleft( y-1 right)+cz=0$
Lại có: $dleft( A;left( P right) right)=2dleft( B;left( P right) right)Rightarrow frac{left| -a+2c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2frac{left| a-c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}Leftrightarrow left| a-2c right|=left| 2a-2c right|$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} a-2c=2a-2c \ {} a-2c=-2a+2c \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=0 \ {} 3a=4c \ end{array} right.$
- Với $a=0$ chọn $b=1Rightarrow c=-2Rightarrow left( P right):y-2z=0$
- Với $3a=4c$ chọn $a=4Rightarrow c=3Rightarrow b=frac{1}{2}Rightarrow left( P right):4x+frac{y}{2}+3z-frac{17}{2}=0$
hay $left( P right):8x+y-6z-17=0$
Bài tập 7: Cho $d:frac{x-1}{2}=frac{y+1}{-1}=frac{z}{-2}$ và các điểm $Aleft( 1;2;2 right)$, $Bleft( 4;3;0 right)$
Lập $left( P right)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A tới $left( P right)$ bằng khoảng cách từ B tới $left( P right)$
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng cần lập có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( a;b;c right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ne 0$
Mặt phẳng $left( P right)$ chứa d nên $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow 2a-b-2c=0Rightarrow 2c=2a-b$
$left( P right)$ đi qua điểm $Mleft( 1;-1;0 right)$$Rightarrow left( P right):aleft( x-1 right)+bleft( y+1 right)+cz=0$
Lại có: $dleft( A;left( P right) right)=dleft( B;left( P right) right)Rightarrow frac{left| 3b+2c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{left| 3a+4b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}Leftrightarrow left| 3b+2c right|=left| 3a+4b right|$
$Leftrightarrow left| 3b+2a-b right|=left| 3a+4b right|Leftrightarrow left| 2a+2b right|=left| 3a+4b right|Leftrightarrow left[ begin{array} {} 2a+2b=3a+4b \ {} 2a+2b=-3a-4b \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} a=-2b \ {} 5a=-6b \ end{array} right.$
- Với $a=-2b$ chọn $b=-1Rightarrow a=2;c=frac{5}{2}Rightarrow left( P right):4x-2y+5z-10=0$
- Với $5a=-6b$ chọn $a=6Rightarrow b=-5;c=frac{17}{2}Rightarrow left( P right):12x-10y+17z-22=0$
Bài tập 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $Mleft( 1;1;0 right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y-3}{-1}=frac{z-1}{1}$; ${{d}_{2}}:frac{x-1}{-1}=frac{y+3}{2}=frac{z-2}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ song song với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ đồng thời cách M một khoảng bằng $sqrt{6}$
Lời giải chi tiết
Vì $left( P right)//{{d}_{1}};{{d}_{2}}$ nên $left( P right)$ có cặp VTCP là: $left{ begin{array} {} overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 1;-1;1 right) \ {} overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( -1;2;-3 right) \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left( 1;2;1 right)$
Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ có dạng: $x+2y+z+D=0$
Lại có: $dleft( M;left( P right) right)=sqrt{6}Leftrightarrow frac{left| 3+D right|}{sqrt{6}}=sqrt{6}Leftrightarrow left[ begin{array} {} D=3 \ {} D=-9 \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} left( {{P}_{1}} right):x+2y+z+3=0 \ {} left( {{P}_{2}} right):x+2y+z-9=0 \ end{array} right.$
Lấy $Kleft( 1;3;1 right)in {{d}_{1}}$ và $Nleft( 1;-3;2 right)in {{d}_{2}}$ thử vào các phương trình $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$ ta có $Nin left( {{P}_{1}} right)$ nên ${{d}_{2}}subset left( {{P}_{1}} right)$
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: $left( {{P}_{2}} right):x+2y+z-9=0$
Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $left( S right):{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}+{{left( z+2 right)}^{2}}=2$ và hai đường thẳng $d:frac{x-2}{1}=frac{y}{2}=frac{z-1}{-1}$, $Delta :frac{x}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $left( S right)$, song song với d và $Delta $?
A. $y+z+3=0$ B. $x+z+1=0$ C. $x+y+z=0$ D. $x+z-1=0$
Lời giải chi tiết
Các VTCP của d và $Delta $ là: $overrightarrow{{{u}_{1}}}left( 1;2;-1 right)$, $overrightarrow{{{u}_{2}}}left( 1;1;-1 right)$ $Rightarrow $VTPT của mặt phẳng cần tìm là:
$overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left( -1;0;-1 right)=-1left( 1;0;1 right)$
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x+z+m=0$. Ta có: $frac{left| -1-2+m right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=sqrt{2}Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=5 \
{} m=1 \ end{array} right.$. Chọn B
Bài tập 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $left( P right)$ nhận $overrightarrow{n}=left( 3;-4;-5 right)$ là vectơ pháp tuyến và $left( P right)$ tiếp xúc với mặt cầu $left( S right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=8$. Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ là:
A. $3x-4y-5z-15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$
B. $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$
C. $3x-4y-5z-15=0$ hoặc $3x-4y-5z+25=0$
D. $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z+25=0$
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ có dạng $3x-4y-5z+m=0$
Xét mặt cầu $left( S right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=8Rightarrow Ileft( 2;-1;1 right)$ và bán kính $R=2sqrt{2}$
Khoảng cách từ tâm I đến $left( P right)$ là $d=frac{left| m+5 right|}{5sqrt{2}}$ mà $d=RRightarrow frac{left| m+5 right|}{5sqrt{2}}=2sqrt{2}Leftrightarrow left| m+5 right|=20Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=15 \ {} m=-25 \ end{array} right.$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $3x-4y-5z+15=0$ hoặc $3x-4y-5z-25=0$. Chọn B
Bài tập 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:frac{x+1}{2}=frac{y+1}{-2}=frac{z}{1}$ và mặt cầu có phương trình $left( S right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z-3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ vuông góc với d, $left( P right)$ tiếp xúc với $left( S right)$ đồng thời $left( P right)$ cắt trục $Oz$ tại điểm có cao độ dương
A. $2x-2y+z+2=0$ B. $2x-2y+z-16=0$ C. $2x-2y+z-10=0$ D. $2x-2y+z-5=0$
Lời giải chi tiết
VTCP của d là $overrightarrow{u}left( 2;-2;1 right)$. Mặt phẳng $left( P right)$ nhận $overrightarrow{u}$ làm VTPT. Phương trình $left( P right)$ là:
$left( P right):2x-2y+z+m=0Rightarrow left( P right)cap Oz=left( 0;0;-m right)Rightarrow m<0$
Ta có: $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=9Rightarrow left( S right)$ có tâm $Ileft( 1;-2;1 right)$ và bán kính $R=3$
Vì $left( P right)$ tiếp xúc với $left( S right)$ nên $dleft( I;left( P right) right)=RLeftrightarrow frac{left| 2.1-2.left( -2 right)+1+m right|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=2 \ {} m=-16 \ end{array} right.$
Vì $left( P right)$ cắt trục $Oz$ tại điểm có cao độ dương nên $m=-16Rightarrow left( P right):2x-2y+z-16=0$. Chọn B
Bài tập 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 4 điểm $Aleft( 1;2;1 right)$, $Bleft( -2;1;3 right)$, $Cleft( 2;-1;1 right)$ và $Dleft( 0;3;1 right)$. Mặt phẳng $left( P right)$ đi qua A, B và khoảng cách từ C đến $left( P right)$ bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng $left( P right)$ và C và D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng $left( P right)$ có phương trình là
A. $2x+3z-5=0$ B. $2y+3z-5=0$ C. $2x-y+3z-5=0$ D. $2x+3y-5=0$
Lời giải chi tiết
Trung điểm của CD là $Ileft( 1;1;1 right)$ do $dleft( C;left( P right) right)=dleft( D;left( P right) right)$ mà C, D nằm ở 2 phía đối với mặt phẳng $left( P right)$ nên $Iin left( P right)$. Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng $left( ABI right)$
Ta có $overrightarrow{AI}left( 0;-1;0 right);overrightarrow{AB}left( -3;-1;2 right)Rightarrow left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AI} right]=left( -2;0;-3 right)Rightarrow left( ABI right):2x+3z-5=0$. Chọn A
Bài tập 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $left( P right):x+y-2z+3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ song song với $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ sao cho khoảng cách giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $left( Q right)$ bằng $2sqrt{2}$
A. $left( Q right):x-y+4=0$ B. $left( Q right):x-y-4=0$ C. $left( Q right):x-y-2=0$ D. Cả A và B
Lời giải chi tiết
Ta có: $overrightarrow{{{n}_{P}}}left( 1;1;-2 right),overrightarrow{{{u}_{Oz}}}=left( 0;0;1 right)$. Do mặt $left( Q right)$ song song với $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $left( P right)$ nên ta có: $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}};overrightarrow{{{u}_{Oz}}} right]=left( 1;-1;0 right)$$Rightarrow $PT mặt phẳng $left( Q right)$ có dạng: $x-y+d=0$
Do $Oz//left( Q right)Rightarrow dleft( Oz;left( Q right) right)=dleft( O;left( Q right) right)=frac{left| d right|}{sqrt{2}}=2sqrt{2}Leftrightarrow d=pm 4$
- Với $d=4Rightarrow left( Q right):x-y+4=0$
- Với $d=-4Rightarrow left( Q right):x-y-4=0$
Vậy $left( Q right):x-y+4=0$ hoặc $left( Q right):x-y-4=0$ là các mặt phẳng cần tìm. CHọn D
Bài tập 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $left( S right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6y-4z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ song song với đường thẳng $d:frac{x}{1}=frac{y-3}{6}=frac{z}{2}$, vuông góc với mặt phẳng $left( alpha right):x+4y+z-5=0$ và tiếp xúc với $left( S right)$
A. $2x-y+2z+3=0$ B. $2x-y+2z-21=0$ C. $2x-y+2z-21=0$ D. Cả A và B
Lời giải chi tiết
Mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( 1;-3;2 right)$ và bán kính $R=sqrt{1+9+4+2}=4$
VTPT của mặt phẳng $left( P right)$ là: $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{left( alpha right)}}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right]=left( 2;-1;2 right)$
Suy ra phương trình mặt phẳng $left( P right)$ có dạng: $2x-y+2z+D=0$
Do $left( P right)$ tiếp xúc với $left( S right)$ nên $dleft( I;left( P right) right)=RLeftrightarrow frac{left| 9+D right|}{sqrt{4+1+4}}=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} D=3 \ {} D=-21 \ end{array} right.$
Do đó $left( P right):2x-y+2z+3=0$ hoặc $left( P right):2x-y+2z-21=0$ tuy nhiên mặt phẳng $2x-y+2z+3=0$ chứa đường thẳng d nên bị loại. Chọn B
Bài tập 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( 1;2;0 right)$, $Aleft( 2;0;1 right)$ và mặt phẳng $left( P right):2x-y+2z-3=0$. Viết phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ đi qua 2 điểm A và B và tạo với mặt phẳng $left( P right)$ một góc $varphi $ sao cho $cos varphi =frac{1}{sqrt{5}}$
Lời giải chi tiết
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( 1;-2;1 right)$. Gọi VTPT của mặt phẳng $left( Q right)$ là: $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left( a;b;c right)$$left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 right)$
Khi đó: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0Leftrightarrow a-2b+c=0Leftrightarrow a=2b-cleft( 1 right)$
Phương trình mặt phẳng $left( Q right)$ là: $aleft( x-1 right)+bleft( y-2 right)+z=0$
Ta có: $cos left( left( P right);left( Q right) right)=frac{left| 2a-b+2c right|}{sqrt{9}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{5}}$$left( 2 right)$
Thế $left( 1 right)$ vào $left( 2 right)$ ta có: $frac{left| b right|}{sqrt{{{left( 2b-c right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{5}}Leftrightarrow 5{{b}^{2}}=5{{b}^{2}}-4bc+2{{c}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array} {} c=0 \ {} c=2b \ end{array} right.$
- Với $c=0$ chọn $b=1Rightarrow a=2Rightarrow left( Q right):2x+y-4=0$
- Với $c=2b$ chọn $b=1Rightarrow c=2Rightarrow a=0Rightarrow left( Q right):y+2z-2=0$
Vậy $left( Q right):2x+y-4=0$; $left( Q right):y+2z-2=0$ là các mặt phẳng cần tìm
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $Aleft( -1;-4;-3 right)$; $Bleft( 2;-1;-6 right)$ và mặt phẳng $left( P right):x+2y+z-3=0$. Gọi $left( Q right)$ là mặt phẳng chứa AB và tạo với mặt phẳng $left( P right)$ một góc $alpha $ thỏa mãn $cos alpha =frac{sqrt{3}}{6}$. Khoảng cách từ O đến $left( Q right)$ có thể bằng
A. $frac{3}{sqrt{2}}$ B. $frac{5}{3}$ C. $sqrt{2}$ D. $2sqrt{2}$
Lời giải
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( 3;3;-3 right)=3left( 1;1;-1 right)$; $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( 1;2;1 right)$
Gọi $overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}left( a;b;c right)$$left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 right)$ là VTPT của $left( Q right)$
Do $left( Q right)$ chứa AB nên $overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}.overrightarrow{AB}=0Rightarrow a+b-c=0Leftrightarrow a+b=c$
Lại có: $cos left( left( P right);left( Q right) right)=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}};overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}} right) right|frac{left| a+2b+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.sqrt{6}}=frac{sqrt{3}}{6}$
$Leftrightarrow 2{{left( a+2b+c right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}Leftrightarrow 2{{left( a+2b+a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{left( a+b right)}^{2}}$
$Leftrightarrow 2{{left( 2a+3b right)}^{2}}=2{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+22ab+16{{b}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{align} & a=-b \ & 3a=-8b \ end{align} right.$
- Với $a=-b$ chọn $a=1;b=-1Rightarrow c=0Rightarrow left( Q right):x-y-3=0Rightarrow dleft( O;left( Q right) right)=frac{3}{sqrt{2}}$
- Với $3a=-8b$ chọn $a=8;b=-3Rightarrow c=5Rightarrow left( Q right):8x-3y+5z+11=0Rightarrow dleft( O;left( Q right) right)=frac{11}{7sqrt{2}}$.
Chọn A
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 2 đường thẳng có phương trình ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y+1}{-1}=frac{z-1}{3}$ và ${{d}_{2}}:frac{x}{1}=frac{y}{-2}=frac{z}{1}$. Gọi $left( Q right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và tạo với ${{d}_{2}}$ góc $alpha ={{30}^{0}}$. Khoảng cách từ O đến $left( Q right)$ có thể bằng
A. $d=frac{sqrt{6}}{2}$ B. $d=frac{sqrt{6}}{3}$ C. $d=frac{sqrt{6}}{6}$ D. $d=frac{sqrt{6}}{4}$
Lời giải
Ta có: $overrightarrow{{{u}_{left( {{d}_{1}} right)}}}=overrightarrow{{{u}_{1}}}left( 1;-1;3 right)$; $overrightarrow{{{u}_{2}}}left( 1;-2;1 right)$; ${{d}_{1}}$ đi qua điểm $Mleft( 1;-1;1 right)$
Gọi $overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}left( a;b;c right)$ $left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 right)$ là VTPT của $left( Q right)$
Do $left( Q right)$ chứa ${{d}_{1}}$ nên $overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}.}overrightarrow{{{u}_{1}}}=0Rightarrow a-b+3c=0Leftrightarrow b=a+3c$
Lại có: $sin alpha =sin {{30}^{0}}=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=frac{left| a-2b+c right|}{sqrt{6}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$Leftrightarrow frac{left| a-2a-6c+c right|}{sqrt{6}.sqrt{{{a}^{2}}+{{left( a+3c right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow 4{{left( a+5c right)}^{2}}=6left( 2{{a}^{2}}+6ac+10{{c}^{2}} right)$
$Leftrightarrow 8{{a}^{2}}-4ac-40{{c}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{align} & a=-2c \ & 2a=5c \ end{align} right.$
- Với $a=-2c$ chọn $a=2Rightarrow c=-1Rightarrow b=-1Rightarrow left( Q right):2x-y-z-2=0Rightarrow {{d}_{0}}=frac{2}{sqrt{6}}=frac{sqrt{6}}{3}$
- Với $2a=5c$ chọn $a=5Rightarrow c=2Rightarrow b=11Rightarrow left( Q right):2x+11y+2z+4=0Rightarrow {{d}_{0}}=frac{2sqrt{6}}{15}$. Chọn B.