Vectơ Chỉ Phương Là Gì

Trong toán học, vectơ chỉ phương là một khái niệm quan trọng liên quan đến đường thẳng. Trên mặt phẳng Oxy, vectơ chỉ phương của đường thẳng được sử dụng để xác định hướng và vị trí của đường thẳng đó.

Khái niệm về vectơ chỉ phương của đường thẳng

  • Định nghĩa: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ $ overrightarrow{u}$ mà $ overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và có cùng hướng hoặc song song với đường thẳng $ Delta$.

  • Nhận xét:

    • Nếu $ overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ Delta$, thì $ k overrightarrow{u} (k neq 0)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $ Delta$. Điều này có nghĩa là một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
    • Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng

  • Định nghĩa: Cho đường thẳng $ Delta$ trong mặt phẳng Oxy, đi qua điểm $ M_0(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $ overrightarrow{u} = (u_1, u_2)$. Với mỗi điểm $ M(x, y)$ trong mặt phẳng, ta có $ overrightarrow{MM_0} = (x – x_0, y – y_0)$. Khi đó, $ M in Delta Leftrightarrow overrightarrow{MM_0}$ cùng hướng với $ overrightarrow{u} Leftrightarrow overrightarrow{MM_0} = t overrightarrow{u}$.

Hệ phương trình $ begin{cases} x – x_0 = t u_1 y – y_0 = t u_2 end{cases} (1)$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $ Delta$, trong đó $ t$ là tham số.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

  • Định nghĩa: Vectơ $ overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ Delta$ nếu $ overrightarrow{n} neq overrightarrow{0}$ và vuông góc với vectơ chỉ phương của $ Delta$.

  • Nhận xét: Nếu $ overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ Delta$, thì $ k overrightarrow{n} (k neq 0)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $ Delta$. Điều này có nghĩa là một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
    Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

  • Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $ Delta$ đi qua điểm $ M_0(x_0, y_0)$ và có phương trình $ ax + by + c = 0$. Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

  • Nhận xét:

    • Nếu $ a = 0$, phương trình tổng quát trở thành $ by + c = 0$ hoặc $ y = – frac{c}{b}$. Đường thẳng $ Delta$ vuông góc với trục Ox tại điểm $ (0, -frac{c}{b})$.
    • Nếu $ b = 0$, phương trình tổng quát trở thành $ ax + c = 0$ hoặc $ x = – frac{c}{a}$. Đường thẳng $ Delta$ vuông góc với trục Oy tại điểm $ (-frac{c}{a}, 0)$.
    • Nếu $ c = 0$, phương trình tổng quát trở thành $ ax + by = 0$. Đường thẳng $ Delta$ đi qua gốc tọa độ O.
    • Trường hợp còn lại, ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng $ frac{x}{a_0} + frac{y}{b_0} = 1$, với $ a_0 = – frac{c}{a}$, $ b_0 = – frac{c}{b}$. Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt trục Ox và Oy lần lượt tại $ M(a_0, 0)$ và $ N(0, b_0)$.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $ Delta_1$ và $ Delta_2$, có phương trình tổng quát lần lượt là $ a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $ a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Ta có các trường hợp sau:

  • Hệ phương trình có một nghiệm $ (x_0, y_0)$, khi đó $ Delta_1$ cắt $ Delta_2$ tại điểm $ M_0(x_0, y_0)$.
  • Hệ phương trình có vô số nghiệm, khi đó $ Delta_1$ trùng với $ Delta_2$.
  • Hệ phương trình vô nghiệm, khi đó $ Delta_1$ và $ Delta_2$ không có điểm chung, hoặc $ Delta_1$ song song với $ Delta_2$.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng $ Delta_1$ và $ Delta_2$ được kí hiệu là $ (widehat{Delta_1, Delta_2})$ hoặc $ (Delta_1, Delta_2)$. Cho hai đường thẳng

$ Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$

$ Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$

Đặt $ varphi = (widehat{Delta_1, Delta_2})$ thì ta thấy $ varphi$ bằng hoặc bù với góc giữa $ overrightarrow{n}_1$ và $ overrightarrow{n}_2$ trong đó $ overrightarrow{n}_1$, $ overrightarrow{n}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $ Delta_1$ và $ Delta_2$. Vì $ cos varphi geq 0$, nên ta suy ra

$ cos varphi = left| cos left( overrightarrow{n}_1, overrightarrow{n}_2 right) right| = frac{left| overrightarrow{n}_1 cdot overrightarrow{n}_2 right|}{left| overrightarrow{n}_1 right| left| overrightarrow{n}_2 right|}$.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $ Delta$ có phương trình $ ax + by + c = 0$ và điểm $ M_0(x_0, y_0)$. Khoảng cách từ điểm $ M_0$ đến đường thẳng $ Delta$, kí hiệu là $ d(M_0, Delta)$, được tính bởi công thức sau:

$d(M_0, Delta) = frac{left| a x_0 + b y_0 + c right|}{sqrt{a^2 + b^2}}$.

vectơ chỉ phương là gì