Dưới đây là bài viết Pt mặt phẳng hay nhất do chính tay đội ngũ chúng tôi biên soạn và tổng hợp:
Ví dụ 1:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Ta có (overrightarrow {AB} ( – 2;3;1),overrightarrow {AC} ( – 3;4;2) Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = (2;1;1) ne overrightarrow 0) nên (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC}) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) ({S_{ABC}} = frac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right| = frac{{sqrt 6 }}{2}).
c) (AH = frac{{2{S_{Delta ABC}}}}{{BC}} = frac{{sqrt 6 }}{{sqrt {{1^2} + {{(4 – 3)}^2} + {{(2 – 1)}^2}} }} = sqrt 2).
Ví dụ 2:
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
Lời giải:
a) Ta có: (overrightarrow {AB} = left( { – 2;1;1} right);) (overrightarrow {AC} = left( { – 2;1; – 1} right),;,overrightarrow {AD} = left( {1; – 1; – 3} right).)
(left[ {overrightarrow {AC} ;overrightarrow {AC} } right].overrightarrow {AD} = 2 ne 0.)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) ({V_{ABCD}} = frac{1}{6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right]overrightarrow {AD} } right| = frac{1}{3})
Mà: ({V_{ABCD}} = frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH Rightarrow AH = frac{1}{{{S_{BCD}}}}.)
(left[ {overrightarrow {BC} ;overrightarrow {CD} } right] = left( { – 4; – 6;0} right) Rightarrow {S_{BCD}} = frac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {BC} ;overrightarrow {CD} } right]} right| = sqrt {13} .)
Vậy: (AH = frac{1}{{sqrt {13} }}.)
2. Phương trình mặt phẳng và các dạng toán liên quan
Ví dụ 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm ({M_0}( – 2;3;1)) và vuông góc với đường thẳng AB với (A(3;1; – 2):B(4; – 3;1).)
b) (P) đi qua điểm ({M_0}( – 2;3;1)) và song song với mặt phẳng (Q): (4x – 2y + 3z – 5 = 0.)
c) (P) đi qua điểm ({M_0}( – 2;3;1)) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm (A(2;0; – 1);B(1; – 2;3);C(0;1;2).)
Lời giải:
a) Mặt phẳng (P) có VTPT (overrightarrow n = overrightarrow {AB} = (1; – 4;3).)
- Cách 1: Do (P) đi qua ({M_0}( – 2;3;1)) nên có phương trình là:
(1(x + 2) – 4(y – 3) + 3(z – 1) = 0)(Leftrightarrow (P):x – 4y + 3z + 11 = 0.)
- Cách 2: Mặt phẳng (P) có VTPT (overrightarrow n = overrightarrow {AB} = (1; – 4;3)) nên phương trình có dạng: (x – 4y + 3z + D = 0.)
Mặt khác: ({M_0}( – 2;3;1) in (P) Rightarrow D = 11). Suy ra: ((P):x – 4y + 3z + 11 = 0.)
b)
- Cách 1: (P)//(Q)(Rightarrow VTPToverrightarrow {{n_(}_{P)}} = VTPT{overrightarrow n _{(Q)}} = (4; – 2;3).)
((P):4(x + 2) – 2(y – 3) + 3(z – 1) = 0 Leftrightarrow (P):4x – 2y + 3z + 11 = 0.)
- Cách 2: (P)//(Q)(Rightarrow (P):{rm{4x – 2}}y + 3z + D = 0(D ne – 5).)
({M_0}( – 2;3;1)in(P)Rightarrow D=11Rightarrow (P):{rm{4x – 2}}y + 3z + 11 = 0.)
c)
Ta có: ({left. {begin{array}{*{20}{l}} {(P) bot (Q) Rightarrow VTPToverrightarrow {{n_{(P)}}} bot VTPToverrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; – 3;2)}\ {(P) bot (Q) Rightarrow VTPToverrightarrow {{n_{(P)}}} bot VTPToverrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; – 1)} end{array}} right}})
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: ({overrightarrow {{n_{(P)}}} = left[ {overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,overrightarrow {{n_{(R)}}} } right] = (1;5;7)}.)
Mặt khác (P) đi qua ({M_0}( – 2;3;1)) nên có phương trình là:
((P):(x + 2) + 5(y – 3) + 7(z – 1) = 0 Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z – 20 = 0.)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
(left{ begin{array}{l} overrightarrow {AB} = ( – 1; – 2;4)\ overrightarrow {AC} = ( – 2;1;3) end{array} right. Rightarrow VTPToverrightarrow {{n_{(P)}}} = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = ( – 10; – 5; – 5).)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
((P): – 10(x – 2) – 5(y – 0) – 5(z + 1) = 0 Leftrightarrow (P):2x + y + z – 3 = 0.)
Ví dụ 4:
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
Lời giải:
a) Ta có: (frac{2}{3} ne frac{{ – 3}}{{ – 1}} ne frac{4}{1}) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: (frac{{ – 1}}{2} = frac{1}{{ – 2}} = frac{{ – 1}}{2} ne frac{4}{7}) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: (frac{3}{4} = frac{3}{4} = frac{{ – 6}}{{ – 8}} = frac{{ – 12}}{{ – 16}}) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Ví dụ 5:
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (left( {{m^2} – 5} right)x – 2y + mz + m – 5 = 0) và (x + 2y – 3nz + 3 = 0.)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Lời giải:
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
(begin{array}{l} frac{{{m^2} – 5}}{1} = frac{{ – 2}}{2} = frac{m}{{ – 3n}} = frac{{m – 5}}{3}\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {m^2} – 5 = – 1\ m = 3n\ m – 5 = – 3 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m = pm 2\ n = frac{m}{3}\ m = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m = 2\ n = frac{2}{3} end{array} right. end{array})
Vậy với m=2; (n=frac{2}{3}) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Ví dụ 6:
Tìm khoảng cách từ các điểm ({M_0}left( {1; – 1;2} right);,{M_1}left( {3;4;1} right);,{M_2}left( { – 1;4;3} right)) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
Lời giải:
(begin{array}{l} dleft( {{M_0},(P)} right) = frac{{left| {1 + 2.( – 1) + 2.2 – 10} right|}}{{sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = frac{7}{3}\ dleft( {{M_1},(P)} right) = frac{{left| {3 + 2.4 + 2.1 – 10} right|}}{{sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\ dleft( {{M_2},(P)} right) = frac{{left| { – 1 + 2.4 + 2.3 – 10} right|}}{{sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 end{array})
Ví dụ 7:
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ((P):x + y – z + 1 = 0) và ((Q):z – y + z – 5 = 0.)
Lời giải:
Gọi ({M_0}left( {{x_0};{y_0};{z_0}} right) in Oy.)
Ta có:
(begin{array}{l} d({M_0},(P)) = dleft( {{M_0},(Q)} right)\ Leftrightarrow frac{{left| {{y_0} + 1} right|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( – 1)}^2}} }} = frac{{left| { – {y_0} – 5} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{left( { – 1} right)}^2} + {1^2}} }}\ Leftrightarrow left| {{y_0} + 1} right| = left| { – {y_0} – 5} right|\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5,(VN)\ {y_0} + 1 = – {y_0} – 5 end{array} right. Leftrightarrow {y_0} = – 3 end{array})
Vậy M(0;-3;0).
Ví dụ 8:
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
Lời giải:
VTPT của (P) là: (overrightarrow {{n_P}} = left( {3;1;4} right).)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
(overrightarrow {{n_Q}} = left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right] = (6; – 5; – 4).)
Gọi (alpha) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
(begin{array}{l} cos alpha = frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}} = frac{{left| {3.6 + 1.( – 5) + 4.( – 4)} right|}}{{sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .sqrt {{6^2} + {{( – 5)}^2} + {{( – 4)}^2}} }} = frac{3}{{sqrt {2002} }}\ Rightarrow alpha approx {86^0}9′. end{array})