Phương trình đường thẳng trong không gian

Dưới đây là bài viết Phương trình đường thẳng trong không gian hay nhất do chính tay đội ngũ chúng tôi biên soạn và tổng hợp:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).

b) d đi qua A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng ((alpha):) 2x-3y-6z+19=0.

c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng (d’:) (left{ begin{array}{l} x = 2 + t\ y = 3 + 2t\ z = 5 – 3t end{array} right.).

d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x-3y+z-2=0.

Lời giải:

a) Ta có: (overrightarrow {AB} = left( { – 1;0;1} right).)

Do d đi qua A và B nên VTCP của d là (overrightarrow u = frac{1}{3}overrightarrow {AB} = left( { – 1;0;1} right)).

Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2\ z = – 3 + t end{array} right.)

b) VTPT của ((alpha)) là (vec n = (2; – 3; – 6).)

Do (d bot (alpha )) nên d nhận (vec u =vec n=(2;-3;-6)) là VTCP.

Mặt khác d đi qua A(-2;4;3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = – 2 + 2t\ y = 4 – 3t\ z = 3 – 6t end{array} right.)

c) VTCP của d’ là (overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).)

Do d// d’ nên VTCP của d (overrightarrow u = overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).)

Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là (left{ begin{array}{l} x = 2 + t\ y = – 5 + 2t\ z = 3 – 3t end{array} right.)

d) Ta có: (overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; – 2)) và (overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; – 3;1)) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

Do: (left{ begin{array}{l} d//left( P right)\ d//(Q) end{array} right.) nên d có VTCP là: (overrightarrow u = left[ {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right] = ( – 3; – 4; – 9).)

Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)

Suy ra phương trình tham số của d là: (left{ begin{array}{l} x = 3 – 3t\ y = 1 – 4t\ z = 5 – 9t end{array} right.)

Ví dụ 2:

Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) ({rm{d}}:left{ begin{array}{l} x = – 3 + 2t\ y = – 2 + 3t\ z = 6 + 4t end{array} right.) và (d’:left{ begin{array}{l} x = 5 + t’\ y = – 1 – 4t’\ z = 20 + t’ end{array} right.).

b) (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + t\ y = 2 + t\ z = 3 – t end{array} right.) và (d’:left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t’\ y = – 1 + 2t’\ z = 2 – 2t’ end{array} right.).

Lời giải:

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP (overrightarrow u = left( {2;3;4} right).)

d’ qua B(5;-1;20) có VTCP (overrightarrow {u’} = left( {1; – 4;1} right)).

(overrightarrow {AB} = left( {8;1;14} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 3&4\ { – 4}&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&2\ 1&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&3\ 1&{ – 4} end{array}} right|} right) = left( {19;2; – 11} right).)

Ta có: (left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 – 11.14 = 152 + 2 – 154 = 0\ left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {19;2; – 11} right) ne overrightarrow 0 end{array} right.)

Suy ra d và d’ cắt nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP (overrightarrow u = left( {1;1; – 1} right).)

d’ qua B(1;-1;2) có VTCP (overrightarrow {u’} = left( {2; 2;-2} right).)

(overrightarrow {AB} = left( {0;-3;-1} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}\ 2&{ – 2} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&1\ { – 2}&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&1\ 2&2 end{array}} right|} right) = left( {0;0;0} right))

Ta có: (left{ begin{array}{l} overrightarrow {u’} = 2overrightarrow u \ overrightarrow {AB} = left( {0; – 3; – 1} right) ne overrightarrow 0 end{array} right.)

Suy ra d và d’ song song với nhau.

Ví dụ 3:

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + at\ y = t\ z = – 1 – 2t end{array} right.;d’:left{ begin{array}{l} x = 1 – t’\ y = 2 + 2t’\ z = 3 – t end{array} right.).

Lời giải:

d qua A(1;0;-1) có VTCP (overrightarrow u = left( {a;1;2} right).)

d’ qua B(1;2;3) có VTCP (overrightarrow u = left( { – 1;2; – 1} right).)

(overrightarrow {AB} = left( {0;2;4} right))

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&2\ 2&{ – 1} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 2&a\ { – 1}&{ – 1} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} a&1\ { – 1}&2 end{array}} right|} right) = left( { – 5;a – 2;2{rm{a}} + 1} right)).

Nếu d cắt d’ khi:

(begin{array}{l} left{ begin{array}{l} left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right] ne overrightarrow 0 \ left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a – 2 ne 0\ 2{rm{a}} – 1 ne 0\ 2(a – 2) + 4(2{rm{a + }}1) = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a ne 2\ a ne frac{1}{2}\ a = 0 end{array} right. Rightarrow a = 0 end{array})

Vậy a=0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4:

Tính các khoảng cách sau:

a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng (Delta :frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{2} = frac{z}{1}.)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l} x = 1 + t\ y = – 1 – t\ z = 1 end{array} right.) và (Delta ‘:left{ begin{array}{l} x = 2 – 3t’\ y = 2 + 3t’\ z = 3t’ end{array} right.quad left( {t,t’ in R} right)).

Lời giải:

a) Đường thẳng (Delta) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {2;2;1} right)).

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} = left( {0;0; – 1} right)\ left[ {overrightarrow {AB} ,vec u} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 1}\ 2&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\ 1&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 0&0\ 2&2 end{array}} right|} right) = left( {2; – 2;0} right). end{array})

Vậy (dleft( {A,Delta } right) = frac{{sqrt {4 + 4} }}{{sqrt {4 + 4 + 1} }} = frac{{2sqrt 2 }}{3}.)

b) Đường thẳng (Delta) qua A(1;-1;1) và có VTCP (overrightarrow u = left( {1; – 1;0} right).)

Đường thẳng (Delta’) qua B(2;2;0) và VTCP (overrightarrow {u’} = left( { – 3;3;3} right).)

(begin{array}{l} overrightarrow {AB} = left( {1;3; – 1} right)\ left[ {vec u,vec u’} right] = left( { – 3; – 3;0} right)\ Rightarrow left[ {vec u,vec u’} right].overrightarrow {AB} = – 12. end{array})

Vậy: (dleft( {Delta ,Delta ‘} right) = frac{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {AB} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u’} } right]} right|}} = frac{{left| { – 12} right|}}{{sqrt {9 + 9 + 0} }} = frac{{12}}{{3sqrt 2 }} = 2sqrt 2.)

Ví dụ 5:

a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): (left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t\ y = 2 + t\ z = 5 + 4t end{array} right.) và ((d’):frac{{x – 2}}{{ – 1}} + frac{{y – 4}}{3} + frac{{z + 3}}{2} = 0.)

b) Tìm m để đường thẳng ((d):left{ begin{array}{l} x = 2t\ y = 1 – 2t\ z = 1 – t end{array} right.) và ((d’):left{ begin{array}{l} x = 1 + 2t\ y = 2 + (m – 2)t\ z = t end{array} right.) tạo với nhau một góc 600.

Lời giải:

a) VTCP của (d) là: (overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).)

VTCP của (d’) là: (overrightarrow {{u_{d’}}} = left( { – 1;3;2} right).)

Gọi (varphi) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:

(begin{array}{l} cos varphi = frac{{left| {overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_d}} } right|left| {overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}} = frac{{left| {2.( – 1) + 3.1 + 4.2} right|}}{{sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} sqrt {{{( – 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = frac{9}{{sqrt {294} }}\ Rightarrow varphi approx {88^0}15′ end{array})

b) (overrightarrow {{u_d}} = left( {2; – 2; – 1} right))

(overrightarrow {{u_{d’}}} = left( {m;m – 2;1} right))

(d) và (d’) tạo với nhau một góc 600 nên:

(begin{array}{l} left| {cos left( {overrightarrow {{n_P}} ,overrightarrow {{n_Q}} } right)} right| = frac{1}{2} Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = frac{1}{2}\ Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 2 – sqrt 2 \ m = 2 + sqrt 2 end{array} right. end{array})

Vậy (m=2-sqrt2) và (m=2+sqrt2) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 6:

Tìm m để đường thẳng: (d:left{ begin{array}{l} x = 1 + mt\ y = (m – 2)t\ z = 1 + t end{array} right.) và (P): (2x – 2y – z + 1 = 0) tạo thành góc 300.

Lời giải:

d có VTCP: (overrightarrow u = (m,m – 2,1).)

(P) có VTPT: (overrightarrow n = (2; – 2; – 1).)

d và (P) tạo với nhau một góc 300 nên:

(begin{array}{l} sin {30^0} = left| {cos left( {overrightarrow u ,vec n} right)} right| = frac{1}{2},, Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = frac{1}{2}\ Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = frac{{2 + sqrt 2 }}{2}\ m = frac{{2 – sqrt 2 }}{2} end{array} right.. end{array})

Vậy (m = frac{{2 + sqrt 2 }}{2}) và (m = frac{{2 – sqrt 2 }}{2}) là các giá trị cần tìm.