Lũy Thừa Là Gì

Bạn đã từng nghe về lũy thừa nhưng chưa hiểu rõ về khái niệm này? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về lũy thừa và các công thức cơ bản liên quan đến nó.

1. Tổng Hợp Lý Thuyết Chung Về Lũy Thừa

1.1. Định Nghĩa

Lũy thừa là phép tính toán được thực hiện trên hai số a và b. Kết quả của phép lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Đơn giản hơn, lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần. Lũy thừa được ký hiệu là a^b và được đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b.

1.2. Phân Loại Lũy Thừa

Theo chương trình học, lũy thừa được phân thành ba dạng: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực. Mỗi dạng có tính chất và đặc điểm riêng, phục vụ cho việc giải các bài tập cụ thể.

Dạng 1: Lũy Thừa Với Số Mũ Nguyên

Cho n là một số nguyên dương và a là một số thực tùy ý. Khi đó, lũy thừa bậc n của a được xác định bởi công thức sau: a^n = a x a x a x … x a (n thừa số a). Đồng thời, cũng có các tính chất như sau:

  • a^0 = 1
  • a^(-n) = 1/a^n

Dạng 2: Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được xác định bởi một số thực dương a và số hữu tỉ r = m/n, trong đó m,n là các số nguyên, n >= 2. Lũy thừa của số a với số mũ r được ký hiệu là a^r = a^(m/n) = căn bậc n của a^m. Đặc biệt, khi m = 1, ta có a^(1/n) = căn bậc n của a.

Dạng 3: Lũy Thừa Với Số Mũ Thực

Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa thông qua giới hạn của các số hữu tỉ. Khi a > 0 và là một số vô tỉ, ta có a^α = lim(n->∞) a^(r_n), với dãy số hữu tỉ r_n thoả mãn lim(n->∞) r_n = α. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực cũng được áp dụng, cho a,b > 0; x,y R ta có các công thức như sau:

  • a^x . a^y = a^(x + y)
  • a^x : a^y = a^(x – y)
  • (a^x)^y = a^(x.y)
  • (ab)^x = a^x . b^x
  • a^x = a^y <=> x = y (a ≠ 1)
  • Với a > 1 thì a^x > a^y <=> x > y, với 0 < a < 1 thì a^x > a^y <=> x < y
  • Với 0 < a < b và m là số nguyên dương thì a^m < b^m, nếu m là số nguyên âm thì a^m > b^m

1.3. Tính Chất Và Các Công Thức Lũy Thừa Cơ Bản

Trước khi tiếp tục giải các bài tập lũy thừa cùng cơ số, hãy nắm vững các tính chất cơ bản của lũy thừa. Các tính chất này sẽ giúp chúng ta trong quá trình biến đổi lũy thừa và giải các bài tập. Dưới đây là các tính chất và công thức cơ bản của lũy thừa:

  • Tính chất về đẳng thức:
    a) a^m . a^n = a^(m + n)
    b) a^m : a^n = a^(m – n)
    c) (a.b)^m = a^m . b^m
    d) (a^m)^n = a^(m.n)

  • Tính chất về bất đẳng thức:
    a) So sánh cùng cơ số:
    Với a > 1 thì a^m > a^n <=> m > n
    Với 0 < a < 1 thì a^m > a^n <=> m < n

b) So sánh cùng số mũ:
Với số mũ dương n > 0: a > b > 0 thì a^n > b^n
Với số mũ âm n < 0: a > b > 0 thì a^n < b^n

Đối với tính chất đẳng thức và bất đẳng thức, các bạn có thể áp dụng chúng vào việc giải các bài tập lũy thừa cùng cơ số.

2. Lũy Thừa Cùng Cơ Số

2.1. Định Nghĩa Chung

Lũy thừa cùng cơ số là các lũy thừa có phần cơ số giống nhau. Ví dụ: a^x và b^x với a và b là các số thực hoặc biểu thức giống nhau.

2.2. Các Công Thức Phép Tính Lũy Thừa Cùng Cơ Số

  • Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:
    Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. Công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số là: a^m . a^n = a^(m + n)

  • Chia hai lũy thừa cùng cơ số:
    Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau. Công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số là: a^m : a^n = a^(m – n) (a ≠ 0, m ≥ 0)

3. Bài Tập Luyện Tập Lũy Thừa Cùng Cơ Số

Để giải nhanh các bài tập lũy thừa cùng cơ số cơ bản, hãy tải file tổng hợp bài tập dưới đây của VUIHOC. Ngoài ra, đừng quên xem bài giảng về lũy thừa của chuyên gia luyện đề toán lớp 12 để nắm bắt những mẹo giải nhanh và phương pháp thú vị trong quá trình học và ôn tập.

Link download file tổng hợp bài tập lũy thừa cùng cơ số có giải chi tiết: Tải về

Link bài giảng của thầy Thành Đức Trung: Xem video

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm được các khái niệm cơ bản về lũy thừa và các công thức quan trọng liên quan đến lũy thừa cùng cơ số. Đây sẽ là nền tảng vững chắc giúp bạn giải quyết các bài tập về chủ đề này trong chương trình Toán 12 và trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT. Chúc bạn đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới!

Bài viết tham khảo: