Hệ thức lượng trong tam giác

Dưới đây là các thông tin và kiến thức về bài viết He thuc luong hay nhất được bình chọn

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. Lý thuyết

I. Các kí hiệu thường gặp

  • A, B,C: là các goác đỉnh A,B,C
  • a, b, c: là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
  • ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C
  • ma, mb, mc: là độ dài các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C
  • la, lb, lc: là độ dài các đường phân giác hạ từ các đỉnh A, B, C
  • R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
  • r: là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
  • p = [frac{1}{2}](a+b+c): là nửa chu vi tam giác ABC
  • S: là diện tích tam giác ABC

hệ thức lượng trong tam giác

II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC, gọi b’, c’ là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền, ta có các hệ thức:

hệ thức lượng trong tam giác

III. Các hệ thức lượng giác trong tam giác thường

1. Định lí hàm COSIN

Trong tam giác ABC ta luôn có:

hệ thức lượng trong tam giác Chú ý: Trong một tam giác bình phương mỗi cạnh bang tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với cosin của góc xem giữa chúng

Hệ quả: Trong tam giác ABC, ta luôn có:

[cos A=frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}], [cos B=frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}] , [cos C=frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}]

2. Định lí hàm SIN

Trong tam giác ABC ta có:

[frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R]

Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:

hệ thức lượng trong tam giác

Chú ý: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. Định lý về đường trung tuyến

Trong tam giác ABC ta có:

hệ thức lượng trong tam giác

4. Định lý về diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau:

hệ thức lượng trong tam giác

5. Định lý về đường phân giác

[{{l}_{a}}=frac{2bc.cos frac{A}{2}}{b+c};{{l}_{b}}=frac{2ac.cos frac{B}{2}}{a+c};{{l}_{c}}=frac{2abcos frac{C}{2}}{a+b}]

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi ${{l}_{A}},{{l}_{B}},{{l}_{C}}$ lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng.

a. ${{l}_{A}}=frac{2bc}{b+c}cos frac{A}{2}$

b. $frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}$

c. $frac{1}{{{l}_{A}}}+frac{1}{{{l}_{B}}}+frac{1}{{{l}_{C}}}>frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}$

Giải

hệ thức lượng trong tam giác

a. Trước hết chứng minh công $sin alpha =2sin frac{alpha }{2}cos frac{alpha }{2}$

bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có $widehat{A}=2alpha $ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.

${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}bcsin A$ ,${{S}_{Delta ABD}}=frac{1}{2}c{{l}_{A}}sin frac{A}{2}$, ${{S}_{Delta ACD}}=frac{1}{2}b{{l}_{A}}sin frac{A}{2}$

Mà ${{S}_{Delta ABC}}={{S}_{Delta ABD}}+{{S}_{Delta ACD}}Rightarrow {{l}_{A}}=frac{2bc}{b+c}cos frac{A}{2}$

b. $frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=frac{1}{2}left( frac{b+c}{bc} right)=frac{1}{2b}+frac{1}{2c}$

Tương tự $frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2c},frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2b}$

$Rightarrow frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}$

c. Ta có $frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}<frac{1}{{{l}_{A}}}+frac{1}{{{l}_{B}}}+frac{1}{{{l}_{C}}}$

$Rightarrow frac{1}{{{l}_{A}}}+frac{1}{{{l}_{B}}}+frac{1}{{{l}_{C}}}>frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}$

Câu 2 Cho tam giác ABC. Gọi ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, $m=frac{{{m}_{a}}+{{m}_{b}}+{{m}_{c}}}{2}$ . Chứng minh rằng

${{S}_{Delta ABC}}=frac{3}{4}sqrt{mleft( m-{{m}_{a}} right)left( m-{{m}_{b}} right)left( m-{{m}_{c}} right)}$

Giải

hệ thức lượng trong tam giác

Gọi D là điểm đối xứng của A qua

trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

Dễ thấy ${{S}_{Delta GBD}}={{S}_{Delta GBC}}={{S}_{Delta AGB}}={{S}_{Delta AGC}}=frac{1}{3}{{S}_{Delta ABC}}$

Mà $Delta GBD$có ba cạnh $frac{2}{3}{{m}_{a}},frac{2}{3}{{m}_{b}},frac{2}{3}{{m}_{c}}$

$Rightarrow {{S}_{Delta GBD}}={{left( frac{2}{3} right)}^{2}}sqrt{mleft( m-{{m}_{a}} right)left( m-{{m}_{b}} right)left( m-{{m}_{c}} right)}$

$Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}=3{{S}_{Delta GBD}}=frac{3}{4}sqrt{mleft( m-{{m}_{a}} right)left( m-{{m}_{b}} right)left( m-{{m}_{c}} right)}$

Câu 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng ${{S}_{square ABCD}}=sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Với $P=frac{a+b+c+d}{2}$

Giải

hệ thức lượng trong tam giác

Do ABCD nội tiếp nên

$sin widehat{ABC}=sin widehat{ADC}$

$cos widehat{ABC}=-cos widehat{ADC}$

${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ADC}}=frac{1}{2}left( ab+cd right)sin B$

$=frac{1}{2}left( ab+cd right)sqrt{1-{{cos }^{2}}B}$

Trong tam giác $ABC$có $A{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2abcos B$

Trong tam giác $ADC$ có $A{{C}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2cdcos D$

hệ thức lượng trong tam giác

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

$frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2abc}=frac{cos A}{a}+frac{cos B}{b}+frac{cos C}{c}$

Giải

Ta có hệ thức lượng trong tam giác

$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2accos B+2bccos A+2abcos C$

$Leftrightarrow frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2abc}=frac{cos A}{a}+frac{cos B}{b}+frac{cos C}{c}$

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

a. $cot A+cot B+cot C=frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{abc}R$

b. $sin frac{A}{2}=sqrt{frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

.

hệ thức lượng trong tam giác

Giải

a. Sử dụng định lí sin và cosin.

b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

Ta có hệ thức lượng trong tam giác

Từ hình vẽ: hệ thức lượng trong tam giác

Từ (1) và (2) $frac{{{left( {{S}_{Delta ABC}} right)}^{2}}}{p}=(p-a)tan frac{A}{2}bcsin frac{A}{2}text{.cos}frac{A}{2}text{ }$

$Leftrightarrow frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=bc(p-a)sin frac{A}{2}$

$Rightarrow sin frac{A}{2}=sqrt{frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

Câu 6: Tam giác ABC có tính chất gì khi ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{4}left( a+b-c right)left( a+c-b right)$

Giải

Theo Hê rong ${{S}_{Delta ABC}}=sqrt{left( frac{a+b+c}{2} right)left( frac{a+b-c}{2} right)left( frac{a-b+c}{2} right)left( frac{-a+b+c}{2} right)}$

$Rightarrow {{left( a+b-c right)}^{2}}{{left( a+c-b right)}^{2}}=left( a+b+c right)left( a+b-c right)left( a-b+c right)left( -a+b+c right)$

$Rightarrow left( a+b-c right)left( a+c-b right)=left( a+b+c right)left( -a+b+c right)Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}$ Tam giác ABC vuông tại A

Câu 7: Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: $frac{r}{R}le frac{1}{2}$

Giải

Ta có hệ thức lượng trong tam giác

Mà $sqrt{(p-a)(p-b)}le frac{2p-a-b}{2}=frac{c}{2}$

$sqrt{(p-a)(p-c)}le frac{2p-a-c}{2}=frac{b}{2}$

$sqrt{(p-b)(p-c)}le frac{2p-b-c}{2}=frac{a}{2}$

hệ thức lượng trong tam giác

Câu 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a. $frac{{{cos }^{2}}A+{{cos }^{2}}B}{{{sin }^{2}}A+{{sin }^{2}}B}le frac{1}{2}left( {{cot }^{2}}A+{{cot }^{2}}B right)$

b. $3Sge 2{{R}^{2}}left( {{sin }^{3}}A+{{sin }^{3}}B+{{sin }^{3}}C right)$

c. $sqrt{p}<sqrt{p-a}+sqrt{p-b}+sqrt{p-c}le sqrt{3p}$

d. ${{S}^{2}}le frac{1}{16}left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} right)$

Giải

a. BĐT $Leftrightarrow frac{2-si{{n}^{2}}A+{{sin }^{2}}B}{{{sin }^{2}}A+{{sin }^{2}}B}le frac{1}{2}left( frac{1}{{{sin }^{2}}A}+frac{1}{{{sin }^{2}}B} right)-1$

$Leftrightarrow frac{2}{{{sin }^{2}}A+{{sin }^{2}}B}le frac{1}{2}left( frac{1}{{{sin }^{2}}A}+frac{1}{{{sin }^{2}}B} right)$

$Leftrightarrow 4le left( frac{1}{{{sin }^{2}}A}+frac{1}{{{sin }^{2}}B} right)left( {{sin }^{2}}A+{{sin }^{2}}B right)$

b. $3Sge 2{{R}^{2}}left( {{sin }^{3}}A+{{sin }^{3}}B+{{sin }^{3}}C right)$

$Leftrightarrow frac{3abc}{4R}le 2{{R}^{2}}left( frac{{{a}^{3}}}{8{{R}^{3}}}+frac{{{b}^{3}}}{8{{R}^{3}}}+frac{{{c}^{3}}}{8{{R}^{3}}} right)$ $Leftrightarrow 3abcle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$

c. Từ ${{left( x+y+z right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx$

$Rightarrow {{left( x+y+z right)}^{2}}>{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$

Nên x, y,z dương thì $x+y+z>sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ áp dung vào CM

+ $sqrt{p-a}+sqrt{p-b}+sqrt{p-c}>sqrt{p-a+p-b+p-c}=sqrt{p}$

+ ${{left( sqrt{p-a}+sqrt{p-b}+sqrt{p-c} right)}^{2}}le 3left( p-a+p-b+p-c right)=3p$

d. hệ thức lượng trong tam giác

$=frac{1}{16}left[ {{(b+c)}^{2}}-{{a}^{2}} right]left[ {{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}} right]le frac{1}{16}left[ {{(b+c)}^{2}}-{{a}^{2}} right]{{a}^{2}}$

$=frac{1}{16}left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc-{{a}^{2}} right){{a}^{2}}le frac{1}{16}left( 2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right){{a}^{2}}$

$=frac{1}{16}left( 2{{b}^{2}}{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}} right)le frac{1}{16}({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})$

Câu 9: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{4}left( {{a}^{2}}sin 2B+{{b}^{2}}sin 2B right)$

Giải

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

hệ thức lượng trong tam giác

Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,

+ B là góc tù

Giải

${{left( a+b+c right)}^{2}}le 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$

$Rightarrow {{left( a+b+c right)}^{4}}le 9{{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}^{2}}=9{{left( sqrt{a}sqrt{{{a}^{3}}}sqrt{b}sqrt{{{b}^{3}}}sqrt{c}sqrt{{{c}^{3}}} right)}^{2}}$

$le left( a+b+c right)left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} right)$

$Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}ge frac{{{left( a+b+c right)}^{4}}}{9left( a+b+c right)}=frac{1}{9}{{(a+b+c)}^{3}}=frac{8}{9}{{p}^{3}}$ khi tam giác đều

Câu 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}le frac{1}{4{{r}^{2}}}$

Giải

${{a}^{2}}ge {{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}Rightarrow frac{1}{{{a}^{2}}}le frac{1}{{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}}$

Tương tự $frac{1}{{{b}^{2}}}le frac{1}{{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}},frac{1}{{{c}^{2}}}le frac{1}{{{c}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}$

Nên $frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}le frac{1}{{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}$

$=frac{1}{left( a-b+c right)left( a+b-c right)}+frac{1}{left( b-c+a right)left( b+c-a right)}+frac{1}{left( c-a+b right)left( c+a-b right)}$

$=frac{1}{4left( p-b right)left( p-c right)}+frac{1}{4left( p-c right)left( p-a right)}+frac{1}{4left( p-a right)left( p-b right)}$

$=frac{p}{4(p-a)left( p-b right)left( p-c right)}=frac{{{p}^{2}}}{4p(p-a)left( p-b right)left( p-c right)}=frac{{{p}^{2}}}{4{{S}^{2}}}=frac{1}{4{{r}^{2}}}$

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho [overrightarrow{a}]= ( 2; -3) và [overrightarrow{b}] = ( 5; m ). Giá trị của m để [overrightarrow{a}] và [overrightarrow{b}] cùng phương là

A. – 6 B.[-frac{13}{2}] C. – 12 D. [-frac{15}{2}]

Câu 2: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

A. 13 B. 15[sqrt{13}] C. 10[sqrt{13}] D. 15

Câu 3: Cho tam giác ABC .Đẳng thức nào sai

A. sin ( A+ B – 2C ) = sin 3C B. [cos frac{B+C}{2}=sin frac{A}{2}]

C. sin( A+B) = sinC D. [cos frac{A+B+2C}{2}=sin frac{C}{2}]

Câu 4:Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm . Tích [overrightarrow{CA}.overrightarrow{CB}] là :

A. 13 B. 15 C. 17 D. Một kết quả khác .

Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ [overrightarrow{AC}] là

A. 5 B. 6 C. 7 D. 9

Câu 6: Cho tam đều ABC cạnh a . Độ dài của [overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}] là :

A. a[sqrt{3}] B. a[frac{sqrt{3}}{3}] C.a[sqrt{6}] D.2a[sqrt{3}]

Câu 7: Cho tam giác đều cạnh a. Độ dài của [overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}] là

A.[frac{sqrt{3}}{4}] B. a C. a[frac{sqrt{2}}{3}] D. [frac{a}{4}]

Câu 8: Cho ba điểm A ( 1; 3) ; B ( -1; 2) C( -2; 1) . Toạ độ của vectơ [overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}]là

A. ( -5; -3) B. ( 1; 1) C. ( -1;2) D. (4; 0)

Câu 9: Cho ba điểm A ( 1;2) , B ( -1; 1) , C( 5; -1) . Cosin của góc ([overrightarrow{AB};overrightarrow{AC}]) bằng số nào dưới đây.

A.- [frac{1}{2}] B.[frac{sqrt{3}}{2}] C. – [frac{2}{5}] D. [-frac{sqrt{5}}{5}]

Câu 10: Cho ba điểm A( -1; 2) , B( 2; 0) , C( 3; 4) . Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là

A. ( 4; 1) B. ( [frac{9}{7};frac{10}{7})] C. ( [frac{4}{3};2)] D).( 2; 3)

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

C

C

D

A

A

B

B

D

B

Bài viết gợi ý: