Kiến thức Định lý Viet và ứng dụng giải những dạng toán cơ bản

Định lý Viet thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm tìm được thỏa mãn hệ thức sau:

Hệ quả: Dựa vào định lý Viét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm nghiệm trực tiếp của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a+b+c = 0 thì (*) có 1 nghiệm x1 =1 và x2 = a/c
• Nếu a-b+c = 0 thì (*) có nghiệm x1 = -1 và x2 = -c/a

Định lý Viet đảo

Bên cạnh định lý Viet thuận còn có định lí Vi ét đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

Các dạng bài tập định lý Viet

Dạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệm

Thường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, nhiều bạn dùng ngay biệt thức Δ để suy ra các nghiệm x1, x2 (nếu có). Tuy nhiên dựa vào định lí Vi ét, ta có một cách tính nhẩm nhanh hơn

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm

Nếu ax2+bx+c=0 ( với a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2.

Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức của các nghiệm thông thường, ta cần biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm và áp dụng định lí Vi ét để giải.

Dạng 3. Tìm 2 số khi biết tổng và tích dựa vào định lí Vi ét đảo

Dựa theo định lý Viet đảo, ta có:

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề bài ta có:

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1 > x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 2a, chiều rộng là a.

Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Giả sử ax2+ bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có Δ ≥ 0

Ví dụ: Phân tích 3×2 + 5x – 8 thành nhân tử

Giải:

Nhận xét: 3×2 + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a=-8/3

Khi này tam thức 3×2 + 5x – 8 = (x – 1)(x + 8/3)

Dạng 5: Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

• Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S= x1 + x2, P=x1.x2
• Một số biểu diễn quen thuộc:

• Áp dụng định lý Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Dạng 6: Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số

Đối với các bài toán tham số, điều kiện bắt buộc là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lí Vi ét cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của 2 nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm ra đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số sao cho:

1. Có đúng 1 nghiệm âm.
2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số nên ta cần xét 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-2/3. Đây là nghiệm âm duy nhất.

• Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm x=x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ hai

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau

Cách 1:

• Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (*)
• Bước 2: Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số
• Bước 3: Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận

Cách 2:

• Bước 1. Thay x = x1 vào phương trình đã cho ta tìm được giá trị của tham số.
• Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình cho trước mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.

Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau

• Cách 1: Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào phương trình rồi giải phương trình.
• Cách 2: Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.
• Cách 3: Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Ví dụ: k mang giá trị nào thì:

1. a) Phương trình 2×2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm kia
2. b) Phương trình (k – 5)x2 – (k – 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = – 2. Tìm nghiệm kia
3. c) Phương trình kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3. Tìm nghiệm kia?

Lời giải

Dạng 8. Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn điều kiện cho trước

“Điều kiện cho trước” ở đây có thể là những nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức hay để một biểu thức của các nghiệm của phương trình bậc hai đạt GTLN, GTNN,…

Chú ý: Sau khi tìm được tham số, hãy nhớ đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 – x2 = 4

Lời giải

Dạng 9. xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước

Sử dụng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 (với a ≠ 0) dựa trên các kết quả sau:

Ngoài ra áp dụng định lí Vi-ét ta có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.

Ví dụ: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Lời giải

Dạng 10: Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

Lời giải

Hy vọng qua bài viết, các bạn học sinh cùng quý vị phụ huynh đã hiểu được định lý viet trong toán học là gì? Từ 10 dạng bài tập định lý Viet cơ bản, các bạn có thể ứng dụng vào giải các bài tập định lý Viet lớp 9, định lý Viet hàm bậc 3 cùng ứng dụng vào giải các dạng bài tập liên quan thật dễ dàng. Chúc các bạn có những giờ học Toán vui vẻ và đạt được kết quả tốt!